复数和有理数
Julia 包含了复数和有理数的预定义类型，并支持对它们的所有标准数学运算和基本函数。转换和提升被定义为，无论预定义的数值类型是原始类型还是复合类型，任何组合的运算都能按预期执行。
复数
全局常量im绑定到复数i，表示-1的主平方根。（使用数学家的i或工程师的j作为这个全局常量被拒绝了，因为它们是如此受欢迎的索引变量名。）由于 Julia 允许数值字面量与标识符并置作为系数，因此这个绑定足以提供复数的便捷语法，类似于传统的数学表示法
julia> 1+2im
1 + 2im您可以对复数执行所有标准算术运算
julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im
julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im
julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im
julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im
julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im
julia> (-1 + 2im)^2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im
julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im
julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im
julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im
julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413793 + 0.5172413793103449im提升机制确保不同类型的操作数的组合可以正常工作
julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im
julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im
julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im
julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im
julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im
julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im
julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im
julia> 2im^2
-2 + 0im
julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im请注意，3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im)，因为字面量系数比除法具有更高的绑定优先级。
提供了用于操作复数值的标准函数
julia> z = 1 + 2im
1 + 2im
julia> real(1 + 2im) # real part of z
1
julia> imag(1 + 2im) # imaginary part of z
2
julia> conj(1 + 2im) # complex conjugate of z
1 - 2im
julia> abs(1 + 2im) # absolute value of z
2.23606797749979
julia> abs2(1 + 2im) # squared absolute value
5
julia> angle(1 + 2im) # phase angle in radians
1.1071487177940904像往常一样，复数的绝对值（abs）是它到零的距离。abs2给出绝对值的平方，对于复数特别有用，因为它避免了开平方。angle返回以弧度为单位的相位角（也称为辐角或arg函数）。其他所有基本函数也为复数定义了
julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im
julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im
julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im
julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im
julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im请注意，数学函数在应用于实数时通常返回实数值，在应用于复数时返回复数值。例如，sqrt在应用于-1与-1 + 0im时行为不同，即使-1 == -1 + 0im
julia> sqrt(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt was called with a negative real argument but will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
Stacktrace:
[...]
julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im字面量数值系数表示法在从变量构造复数时不起作用。相反，必须显式地写出乘法
julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im但是，不建议这样做。相反，使用更有效的complex函数直接从其实部和虚部构造复数值
julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im这种构造避免了乘法和加法运算。
Inf和NaN通过复数在复数的实部和虚部中传播，如特殊浮点数部分所述
julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im
julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im有理数
Julia 有一种有理数类型来表示整数的精确比率。有理数使用//运算符构造
julia> 2//3
2//3如果有理数的分子和分母有公因子，则将其约简为最简形式，使得分母为非负数
julia> 6//9
2//3
julia> -4//8
-1//2
julia> 5//-15
-1//3
julia> -4//-12
1//3整数比率的这种规范形式是唯一的，因此可以通过检查分子和分母是否相等来测试有理数的值是否相等。可以使用numerator和denominator函数提取有理数的标准化分子和分母
julia> numerator(2//3)
2
julia> denominator(2//3)
3通常不需要直接比较分子和分母，因为标准算术和比较运算符已为有理数值定义
julia> 2//3 == 6//9
true
julia> 2//3 == 9//27
false
julia> 3//7 < 1//2
true
julia> 3//4 > 2//3
true
julia> 2//4 + 1//6
2//3
julia> 5//12 - 1//4
1//6
julia> 5//8 * 3//12
5//32
julia> 6//5 / 10//7
21//25有理数可以轻松地转换为浮点数
julia> float(3//4)
0.75从有理数到浮点数的转换遵循以下恒等式，适用于a和b的任何整数值，除了b == 0和a == 0 && b < 0这两种情况
julia> a = 1; b = 2;
julia> isequal(float(a//b), a/b)
true构造无限的有理数值是可以接受的
julia> 5//0
1//0
julia> x = -3//0
-1//0
julia> typeof(x)
Rational{Int64}但是，尝试构造NaN有理数值是无效的
julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]像往常一样，提升系统使与其他数值类型的交互变得轻松
julia> 3//5 + 1
8//5
julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998
julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im
julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im
julia> 3//2 / (1 + 2im)
3//10 - 3//5*im
julia> 1//2 + 2im
1//2 + 2//1*im
julia> 1 + 2//3im
1//1 - 2//3*im
julia> 0.5 == 1//2
true
julia> 0.33 == 1//3
false
julia> 0.33 < 1//3
true
julia> 1//3 - 0.33
0.0033333333333332993